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1、首先定义ε≤min{IX1-aI，Ib-XnI}，则f(x)在闭区间[a+ε，b-ε]也连续，且a＜a+ε＜X1＜Xn＜b-ε＜b由连续函数介值定理，在区间[a+ε，b-ε]有：m≤f(Xi)≤M则有m^n≤f(Xi)......f(Xn)≤M^n，因此有：m≤[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)≤M定义常数C=[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)显然m≤C≤M同时由介质定理可得在闭区间[a+ε，b-ε]内必然存在一点ξ，且a+ε≤ξ≤b-ε，满足f(ξ)=c=[f(Xi)....f(Xn)]^(1/n)考虑到a＜a+ε＜b-ε＜b上述结论在开区间（a,b）内也成立。
2、由此得证。
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